Задача 87592

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть A – некоторая точка в пространстве, не принадлежащая плоскости α . Рассмотрим всевозможные плоскости, проходящие через точку A и образующие один и тот же угол с плоскостью α . Докажите, что все прямые, по которым плоскости, проходящие через точку A , пересекаются с плоскостью α , касаются одной окружности.

Решение

Пусть A1 – ортогональная проекция точки A на плоскость α , l – прямая, по которой плоскость β , проходящая через точку A , пересекается с плоскостью α , B – основание перпендикуляра, опущенного из точки A1 на прямую l , ϕ – угол между плоскостями α и β . По теореме о трёх перпендикулярах AB l , поэтому ABA1 – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β . Значит, ABA1 = ϕ . Из прямоугольного треугольника ABA1 находим, что A1B = AA1 ctg ϕ . Поэтому точка B расположена на фиксированной окружности с центром A1 и радиусом, равным AA1 ctg ϕ . Прямая l проходит через точку B и перпендикулярна радиусу A1B . Следовательно, прямая l – касательная к этой окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8195