Задача 87591

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Пусть A – некоторая точка в пространстве, A1 – проекция точки A на плоскость α , AA1 = a . Через точку A проходит плоскость, образующая угол ϕ с плоскостью α и пересекающая плоскость α по прямой l . Найдите расстояние от точки A1 до прямой l .

Решение

Если ϕ = 90^o , то прямая l проходит через точку A1 . В этом случае искомое расстояние равно 0. Пусть плоскость β , проходящая через данную точку A , образует с плоскостью α угол ϕ 90^o . Опустим перпендикуляр A1B из точки A1 на прямую l . Тогда расстояние от точки A1 до прямой l равно длине отрезка A1B . По теореме о трёх перпендикулярах AB l . Значит, ABA1 – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β . По условию задачи ABA1 = ϕ . Из прямоугольного треугольника ABA1 находим, что

A1B = AA1· ctg ABA1 = a ctg ϕ.

Ответ

a ctg ϕ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8194