ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87589
Темы:    [ Двугранный угол ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В одной из граней двугранного угла, равного ϕ , взята точка A на расстоянии a от ребра. Найдите расстояние от точки A до плоскости другой грани.

Решение

Пусть ϕ = 90o (рис.1). Через точку A , лежащую в грани α данного двугранного угла, проведём прямую, перпендикулярную ребру l двугранного угла. Пусть проведённая прямая пересекает ребро l в точке B . В плоскости β другой грани двугранного угла проведём прямую BC , перпендикулярную l . Тогда ABC – линейный угол данного двугранного угла. В рассматриваемом случае ABC = 90o , поэтому прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым l и BC плоскости β . Значит, AB – перпендикуляр к этой плоскости. Тогда расстояние от точки A до плоскости β равно a . Пусть ϕ < 90o (рис.2); A1 – ортогональная проекция точки A , лежащей в грани α данного двугранного угла, на плоскость второй его грани β ; B – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на ребро l данного двугранного угла. По теореме о трёх перпендикулярах A1B l , поэтому ABA1 – линейный угол данного двугранного угла. По условию задачи ABA1 = ϕ . Расстояние от точки A до плоскости β равно длине отрезка AA1 . Из прямоугольного треугольника ABA1 находим, что

AA1 = AB sin ABA1 = a sin ϕ.

Если ϕ > 90o , то аналогично получим, что
AA1 = AB· sin (180o - ϕ) = a sin ϕ.

Эта формула верна и в случае, когда ϕ = 90o : AA1 = a sin 90o = a .

Ответ

a sin ϕ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8192

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .