Задача 87584

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ ГМТ в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через точку A , не принадлежащую плоскости π , и образующие равные углы с этой плоскостью (углы, отличные от нуля). Найдите геометрическое место точек пересечения этих прямых с плоскостью π .

Решение

Пусть O – ортогональная проекция точки A на плоскость π , M – произвольная точка плоскости π , для которой выполнено условие задачи, т.е. прямая AM образует с плоскостью π данный угол (обозначим его α ). Так как OM – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость π , то AMO = α . Из прямоугольного треугольника AMO находим, что

OM = AO ctg AMO = AO ctg α.
Таким образом, точка M лежит на окружности с центром O и радиусом AO ctg α . Пусть теперь K – произвольная точка этой окружности. Тогда прямая AK образует с плоскостью π острый угол, тангенс которого равен
= = tg α.
Значит, угол прямой AK с плоскостью π равен α .

Ответ

Окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8187