Задача 87474

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды равен α , а сторона основания равна b . Найдите объём пирамиды.

Решение

Пусть угол бокового ребра с плоскостью основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равен ϕ . Опустим перпендикуляр BF из точки B на прямую AP . Прямая AP перпендикулярна плоскости, проходящей через точки B , D и F , т.к. она перпендикулярна двум пересекающимся прямым BF и BD этой плоскости (ортогональная проекция AC наклонной AP перпендикулярна прямой BD , лежащей в плоскости основания). Значит, BFD – линейный угол двугранного угла между смежными боковыми гранями APB и APD . По условию задачи BFD = α . Пусть O – центр основания пирамиды. Тогда

AO = OB = , OF = = · ctg .
Из прямоугольного треугольника AFO находим, что
sin ϕ = sin FAO = = = ctg ,

cos ϕ = = , tg ϕ = = .
Из прямоугольного треугольника AOP находим, что
OP = OA tg PAO = OA tg ϕ = · =.
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· OP = b2· OP = b2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7986