Задача 87471

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Расстояние от точки до плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Пусть M – такая точка на ребре A1D1 , для которой A1M:MD1 = 1:2 . Найдите периметр треугольника AB1M , а также расстояние от вершины A1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

Решение

Из прямоугольных треугольников AA1M , B1A1M и AA1B1 по теореме Пифагора находим, что

AM = = = ,

B1M = = = ,

AB1 = = = a.
Следовательно, периметр треугольника AB1M равен
AM + B1M + AB1 = + + a =

= + a =
Теперь найдём расстояние от вершины A1 до плоскости, проходящей через вершины треугольника AB1M .

Пусть K – середина основания AB1 равнобедренного треугольника MAB1 . Тогда MK – высота треугольника MAB1 . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MAK находим, что
MK = = = .
Пусть V – объём пирамиды AA1MB1 . Тогда
V = S_{Δ A}1MB1· AA1 = · A1M· A1B1· AA1 = · · · a· a = .
С другой стороны,
V = S_{Δ AB}1M· h,
где h – искомое расстояние от вершины A1 до плоскости, проходящей через вершины треугольника AB1M . Следовательно,
h = = = = .


Примем за начало координат вершину A1 , а оси координат направим по лучам A1D1 , A1B1 и A1A . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A , B1 и M , имеет вид
+ + = 1
(уравнение плоскости в отрезках), или 3x + y + z - a = 0 . Следовательно,
h = = .

Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7983