ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87470
Темы:    [ Куб ]
[ Свойства сечений ]
[ Расстояние от точки до плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Пусть M – середина ребра D1C1 . Найдите периметр треугольника A1DM , а также расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

Решение

Из прямоугольных треугольников A1D1M , DD1M и DD1A1 по теореме Пифагора находим, что

A1M = = = ,


DM = = = ,


A1D = = = a.

Следовательно, периметр треугольника A1DM равен
A1M + DM + A1D = + + a = a + a = a( + ).

Теперь найдём расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.

Пусть K – середина основания A1D равнобедренного треугольника A1MD . Тогда MK – высота треугольника A1MD . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника MKD находим, что
MK = = = .

Пусть V – объём пирамиды A1D1MD . Тогда
V = SΔ A1D1M· DD1 = · A1D1· D1M· DD1 = · · a = .

С другой стороны,
V = SΔ A1MD· h,

где h – искомое расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины треугольника A1MD . Следовательно,
h = = = = .



Примем за начало координат вершину D1 , а оси координат направим по лучам D1A1 , D1C1 и D1D . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки A1 , D и M , имеет вид
+ + = 1

(уравнение плоскости в отрезках), или x + 2y + z - a = 0 . Следовательно,
h = = .


Ответ

a( + ) ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7982

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .