Задача 87469

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Тангенсы двугранных углов при основании правильной треугольной пирамиды равны 3. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны основания с серединой противоположного ребра, если сторона основания пирамиды равна .

Решение

Пусть a – сторона основания правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D , K – середина AB , M – середина бокового ребра CD , O – центр основания ABC , β – угол боковой грани с плоскостью основания. Поскольку пирамида правильная, DKO = β . По условию задачи a = , tg β = 3 . Треугольник ABC – равносторонний, поэтому

CK = = · = , OK = CK = , OC = CK = 1.
Из прямоугольных треугольников DOK и DOC находим, что
DO = OK tg β = , DK = = = ,

CD = = = .
По формуле для медианы из треугольника DKC находим, что
KM = = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7981