ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87464
Тема:    [ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная из вершины D, проходит через точку пересечения высот треугольника ABC. Кроме того, известно, что DB = 3, DC = 2, $ \angle$BDC = 90o. Найдите отношение площади грани ADB, к площади грани ADC.


Решение


Пусть H - точка пересечения высот треугольника ABC. По условию задачи DH - высота пирамиды. Тогда BH - ортогональная проекция наклонной DB на плоскость основания ABC пирамиды. Так как BH $ \perp$ AC то по теореме о трех перпендикулярах DB $ \perp$ AC. Таким образом, прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым DC и AC плоскости грани ADC. Поэтому прямая BD перпендикулярна плоскости грани ADC. Значит, BD $ \perp$ AD, т.е. треугольник ADB прямоугольный. Аналогично докажем, что треугольник ADC также прямоугольный, причем $ \angle$ADC = 90o. Следовательно,

S(ADB)/S(ADC) = ($\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . BD)/($\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . CD) = BD/CD = 3/2.


Ответ

3/2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7976

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .