ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87460
Темы:    [ Четырехугольная пирамида ]
[ Усеченная пирамида ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие


В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 2, а стороны оснований равны 3 и 5. Найдите диагональ усеченной пирамиды.


Решение


Проведем сечение через противоположные боковые ребра AA1 и CC1 данной усеченной пирамиды ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1(AB = 5, A1B1 = 3). Пусть O и O1 - центры оснований ABCD и A1B1C1D1соответственно. Секущая плоскость проходит через высоту OO1 усеченной пирамиды. В сечении получим равнобедренную трапецию AA1C1C с основаниями AC = 5$ \sqrt{2}$ и A1C1 = 3$ \sqrt{2}$. Пусть A1K - высота трапеции. Тогда

A1K = OO1 = 2,

AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AC - A1C1) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(5$\displaystyle \sqrt{2}$ - 3$\displaystyle \sqrt{2}$) = $\displaystyle \sqrt{2}$,

CK = AC - AK = 5$\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{2}$ = 4$\displaystyle \sqrt{2}$.

Из прямоугольного треугольника A1KC находим, что

A1C = $\displaystyle \sqrt{AK^{2} + CK^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4 + 32}$ = 6.


Ответ

6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7972

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .