Задача 87415

Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Объем призмы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб ABCD со стороной a и острым углом 60^o . Ребро AA1 также равно a и образует с ребрами AB и AD углы 45^o . Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Поскольку сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего, угол BAD не может быть больше 90^o . Поэтому BAD = 60^o . Опустим перпендикуляр A1H из вершины A1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на плоскость основания ABCD . Затем из точки H опустим перпендикуляры HP и HQ на прямые AB и AD соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах A1P AB и A1Q AD . Из прямоугольных треугольников A1AP и A1AQ находим, что

A1P = A1Q = , AP = AQ = .
Так как HP = HQ (как ортогональные проекции равных наклонных A1P и A1Q ), то AH – биссектриса угла BAD . Поэтому
HP = AP tg 30^o = · = .
Из прямоугольного треугольника A1HP по теореме Пифагора находим, что
A1H = = = .
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = S_ABCD· A1H = a· a· sin 60^o· = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7913