Задача 87410

Темы:    [ Объем призмы ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В основании призмы лежит трапеция. Найдите объём призмы, если площади параллельных боковых граней равны S1 и S2 , а расстояние между ними равно h .

Решение

Докажем сначала, что если площадь боковой грани AA1C1C треугольной призмы ABCA1B1C1 равна S , а расстояние от противолежащего бокового ребра BB1 до этой плоскости равно h , то объём призмы равен Sh . Для этого достроим призму ABCA1B1C1 (рис.1) до параллелепипеда ABKCA1B1K1C1 , проведя через прямую BB1 плоскость, параллельную грани ACC1A1 , а через прямую CC1 – плоскость, параллельную грани ABB1A1 . Высота параллелепипеда, опущенная на основание ACC1A1 равна h . Поэтому его объём равен Sh . Объём призмы ABCA1B1C1 равен половине объема построенного параллелепипеда, т.е. Sh . Что и требовалось доказать. Разобъем данную четырёхугольную призму на две треугольных плоскостью, проходящей через параллельные диагонали оснований (рис.2). По ранее доказанному, объёмы этих треугольных призм равны S1h и S2h . Следовательно, объём исходной призмы равен (S1 + S2)h .

Ответ

(S1 + S2)h .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7908