Задача 87409

Темы:    [ Объем параллелепипеда ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5, а высота равна 12. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью 24 и диагональю 8. Найдите боковую поверхность и объём параллелепипеда.

Решение

Пусть P – ортогональная проекция вершины A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 на плоскость основания A1B1C1D1 . По условию задачи AP= 12 , PA1 = 5 . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника APA1 находим, что

AA1 = = = 13.
Пусть V – объём параллелепипеда, S – его боковая поверхность. Объём призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро. Поэтому
V = 24· 13 = 312.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей d1 и d2 . Если d1 = 8 , то
d2 = 2· = = 6.
Поэтому сторона ромба равна
= = 5.
Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. Следовательно,
S = 4· 5· 13 = 260.

Ответ

260; 312.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7907