Задача 87407

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и плоскими углами при вершине, равными углам боковых рёбер с плоскостью основания.

Решение

Пусть PO – высота данной правильной пирамиды PABCD , M – середина BC . Обозначим BPC = OCP = α . Из прямоугольных треугольников CMP и COP находим, что

PC = = , PC = = .
Откуда получим уравнение cos α = sin . Так как α – острый угол, то cos α > 0 и sin > 0 . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим
cos 2α = 2 sin 2 , cos 2α = 1 - cos α, cos 2α + cos α - 1 = 0,
откуда cos α = = . Тогда
tg α = = = ,

PO = OC tg α = = .
Следовательно,
V_PABCD = S_ABCD· PO = a2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7905