Задача 87341

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC , сторона которого равна . Основанием высоты, опущенной из вершины S , является точка O , лежащая внутри треугольника ABC . Расстояние от точки O до стороны AC равно 1. Синус угла OBA относится к синусу угла OBC как 2:1 . Площадь грани SAB равна . Найдите объём пирамиды.

Ответ

Пусть K , L и M – ортогональные проекции точки O соответственно на стороны AC , BC и AB равностороннего треугольника ABC . Тогда

sin OBA = , sin OBC = , = 2.
Поэтому OM = 2OL . Обозначим OL = x . Тогда OM = 2x . Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOC , AOB и BOC , т.е.
AC2· = AC· OK + AB· OM + BC· OL,
или
= (1 + 2x + x),
откуда x = . Значит, OM = 2x = . Так как OM – ортогональная проекция наклонной SM на плоскость основания пирамиды и OM AB , то SM AB . Поэтому SM – высота треугольника ABS , а т.к. площадь треугольника ABS равна , то
AB· SM = · SM = ,
откуда SM = . Из прямоугольного треугольника MOS находим, что
SO = = = 1.
Следовательно,
V_SABC = S_{Δ ABC}· SO = · · 1 = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7814