Условие
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их
продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр
ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его
противоположных рёбер перпендикулярны, т.е.
AB 
CD и
AD BC
(в этом случае рёбра третьей пары также перпендикулярны, т.е.
AC
BD ).
Решение
Достаточность. Пусть в тетраэдре
ABCD ребро
AB перпендикулярно
ребру
CD , а ребро
BC перпендикулярно ребру
AD . Докажем что, ребро
AC перпендикулярно ребру
BD , а высоты тетраэдра пересекаются в
одной точке.
Достроим данный тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
AKBLNDMC (
AN
|| KD || BM || LC ), проведя через его противоположные
рёбра пары параллельных плоскостей (рис.2). Поскольку
KL || CD , то
KL AB ,
поэтому параллелограмм
AKBL – ромб. Аналогично, параллелограмм
LBMC – ромб. Значит,
AL = BL = LC , поэтому параллелограмм
ALCN –
также ромб. Его диагонали
AC и
LN перпендикулярны, а т.к.
LN || BD ,
то
AC BD .
Так как
AB CD , то высоты
CC1
и
DD1
тетраэдра
ABCD
пересекаются (рис.1). По той же причине пересекаются высоты
CC1
и
BB1
, а
также высоты
AA1
и
CC1
. Проведём плоскость через прямые
CC1
и
DD1
, пересекающиеся в точке
H . Если прямая
AA1
пересекает прямые
CC1
и
DD1
в различных точках, то она лежит в проведённой плоскости.
Аналогично для прямой
BB1
. Тогда точки
A ,
B ,
C и
D лежат в одной
плоскости, что невозможно. Следовательно, прямые
AA1
,
BB1
и
CC1
проходят через точку
H .
Необходимость. Пусть высоты
AA1
,
BB1
,
CC1
и
DD1
тетраэдра
ABCD пересекаются в одной точке. Докажем, что противоположные рёбра
тетраэдра попарно перпендикулярны. Действительно, плоскость,
проходящая через пересекающиеся прямые
BB1
и
CC1
, перпендикулярна
прямой
AD , поэтому
AD BC . Остальное аналогично.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7807 |
