ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87310
Темы:    [ Касающиеся сферы ]
[ Правильная призма ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три шара радиуса r лежат на нижнем основании правильной треугольной призмы, причём каждый из них касается двух других шаров и двух боковых граней призмы. На этих шарах лежит четвёртый шар, который касается всех боковых граней и верхнего основания призмы. Найдите высоту призмы.

Решение

Пусть O1 , O2 , O3 – центры шаров, касающихся нижнего основания призмы, O – центр четвёртого шара, R – его радиус, H – искомая высота призмы, a – сторона основания призмы, h – высота правильной треугольной пирамиды OO1O2O3 с вершиной O (рис.1). Рассмотрим ортогональную проекцию призмы и данных шаров на плоскость основания призмы (рис.2). Получим три окружности радиусов r , касающиеся сторон равностороннего треугольника со стороной a , и попарно касающиеся между собой, а также окружность радиуса R , вписанную в этот треугольник. Имеем:

a = 2r + 2r = 2r(1 + ),


R = = = = r(1 + ).

Сторона основания правильной треугольной пирамиды OO1O2O3 равна 2r , боковое ребро равно r + R . Поэтому
h = = =


= r = r = .

Следовательно,
H=r+h+R=r+ r + r(1+)=


= r(6 + +).


Ответ

r(6 + + ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7781

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .