Задача 87257

Темы:    [ Прямоугольный тетраэдр ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде боковые рёбра попарно перпендикулярны и равны , и . Найдите объём и площадь основания пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – данная треугольная пирамида ABCD , DA = , DB = , DC = , причём ребра DA , DB и DC попарно перпендикулярны. Будем считать, что A – вершина пирамиды ABCD . Тогда её ребро AD перпендикулярно двум пересекающимся прямым DB и DC плоскости грани DBC . Значит, AD – высота пирамиды, а её основание – прямоугольный треугольник DBC с гипотенузой BC . Следовательно,

V_ABCD = S_{Δ DBC}· AD = · DB· DC· AD = · · =

= = 21.
Из прямоугольных треугольников ABD , ACD и BCD по теореме Пифагора находим, что AB = 13 , AC = 14 и BC = 15 . Тогда по формуле Герона
S_{Δ ABC} = = 84.

Ответ

21 ; 84.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7728