ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87242
Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ]
[ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку, лежащую в одной из двух перпендикулярных поскостей, проведена прямая, перпендикулярная второй плоскости. Докажите, что эта прямая лежит в первой плоскости.

Решение

Пусть перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой c , а прямая, проходящая через точку M плоскости α перпендикулярно плоскости β , пересекает плоскость α в точке K . Предположим, что точка K не лежит на прямой c . Поскольку прямая MK перпендикулярна плоскости β , прямые MK и c перпендикулярны. Проведём через прямую MK плоскость γ , перпендикулярную прямой c . Пусть P – точка пересечения плоскости γ с прямой c . Тогда MPK – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β . По условию MPK = 90o , а т.к. MK β , то MKP = 90o . Таким образом через точку M в плоскости γ проведены две различные прямые, перпендикулярные прямой PK , что невозможно. Следовательно, точка K лежит на прямой c , а прямая a лежит в плоскости α .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7713

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .