ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87239
Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ]
[ Признаки перпендикулярности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой. (Определение.}Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o ).

Решение

Необходимость.}Пусть плоскости α и β перпендикулярны. Это значит, что двугранный угол, образованный ими, – прямой. Через точку M , расположенную на прямой c пересечения плоскостей α и β , проведём в плоскостях α и β прямые соответственно MA и MB , перпендикулярные прямой c . Тогда AMB – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β . По условию AMB = 90o , поэтому прямая AM , лежащая в плоскости α , перпендикулярна двум пересекающимся прямым c и MB плоскости β . Следовательно, плоскость α проходит через прямую MA , перпендикулярную плоскости β . Достаточность.}Пусть прямая a , лежащая в плоскости α , перпендикулярна плоскости β , а плоскости α и β пересекаются по прямой c . Через точку M пересечения прямых a и c проведём в плоскости β прямую MB , перпендикулярную прямой c . Возьмём на прямой a точку A , отличную от M . Так как прямая AM перпендикулярна плоскости β , то AM c и AM BM . Кроме того, AMB – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β . Поскольку AMB = 90o , плоскости α и β перпендикулярны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7710

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .