Задача 87228

Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Свойства сечений ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна a , боковое ребро равно 2a . Рассматриваются отрезки с концами на диагонали BD основания и боковом ребре SC , параллельные плоскости SAD . 1) Один из этих отрезков проведён через точку M диагонали BD , для которой DM:DB = 1:3 . Найдите его длину. 2) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.

Решение

Через точку M проведем плоскость, параллельную плоскости SAD (рис.1). Пусть секущая плоскость пересекает рёбра AB , CD , SC , SB данной пирамиды соответственно в точках P , Q , R , T . Тогда отрезок MR параллелен плоскости SAD , его концы лежат на прямых BD и SC , а четырёхугольник PQRT – равнобедренная трапеция. Пусть = . Тогда

= = = ,
поэтому
= = , = = = ,
значит,
QR = PT = AS = a, RT = BC = a.
Пусть RF – высота равнобедренной трапеции PQRT . Тогда
FQ = (PQ - RT) = (a - a) = a,
а т.к. MQ = PQ = a , то в этом случае точка F совпадает с точкой M . Следовательно,
RM = = = .
Пусть теперь точка M перемещается по отрезку BD . Для каждого её положения строим плоскость PQRT , параллельную плоскости SAD . Обозначим = x (0 x 1) . Указанным выше способом находим (рис.2), что
QR = PT = 2a(1 - x), RT = ax, MQ = ax.
Тогда
QF = (PQ - RT) = (a - ax) = a(1 - x),

RF2 = QR2 - QF2 = 4a2(1 - x)2 - a2(1 - x)2 = ,

MF = MQ - QF = ax - a(1-x) = a(3x - 1 ),

MR2 = MF2 + RF2 = a2(3x - 1)2 + a2(1 - x)2 =

= a2((3x - 1)2 + 15(1 - x)2) =

= a2(24x2 - 36x + 16) = a2(6x2 - 9x + 4) =

= a2(6(x - )2 + ) a2,
причём равенство достигается, если x = . Следовательно, наименьшее значение длины отрезка MR равно a .

Ответ

1) ; 2) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7620