Задача 87217

Тема:    [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Известно, что , и – некомпланарные векторы. Докажите, что векторы = + + , = + - и = 2 + + 3 – также некомпланарны.

Решение

Пусть x , y и z – такие числа, для которых x + y + z = . Тогда

x( + + ) + y( + - ) + z(2 + + 3) =

= (x + y + 2z) + (x + y + z) + (x - y + 3z) = .
Поскольку , и – некомпланарные векторы, последнее равенство возможно лишь в случае, когда

откуда x = y = z = 0 . Следовательно, векторы , и некомпланарны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7607