Задача 87187

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Уравнение плоскости ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите расстояние между прямыми AB и CD .

Решение

Найдём координаты векторов и :

= (-2-1; 2-0; 1-1) = (-3; 2; 0).

=(0-2; 4-0; -2-3) = (-2; 4; -5).
Пусть =(a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный данным прямым. Тогда · = 0 и · = 0 , или

Положим a = 10 . Тогда b = 15 , c = (-2a + 4b) = 8 . Через точку A(1; 0; 1) проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (10; 15; 8) :
10(x - 1) + 15y + 8(z - 1) = 0, или 10x + 15y + 8z - 18 = 0.
Расстояние от точки C(2; 0; 3) до этой плоскости равно расстоянию между прямыми AB и CD . Если ρ – искомое расстояние, то
ρ = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7576