Задача 87185

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Уравнение плоскости ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите острый угол между плоскостями ABC и BCD .

Решение

Острый угол между плоскостями либо равен углу между векторами, соответственно перпендикулярными данным плоскостям, либо дополняет этот угол до 180^o . Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC . Найдем координаты векторов и :

= (-2-1; 2-0; 1-1) = (-3; 2; 0),

=(2-1; 0-0; 3-1) = (1; 0; 2).
Поскольку · = 0 и · = 0 , имеем систему

Положим c = -1 . Тогда a = 2 , b = a = 3 . Таким образом, вектор = (2; 3; -1) перпендикулярен плоскости ABC . Пусть = (p; q; r) – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости BCD . Найдем координаты векторов и :
=(2-(-2); 0-2; 3-1) = (4; -2; 2),

=(0-(-2); 4-2; -2-1) = (2; 2; -3).
Поскольку · = 0 и · = 0 , имеем систему

Сложив почленно эти уравнения, получим, что 6p - r = 0 . Положим r =6 . Тогда p = 1 , q = (4p + 2r) = 2p + r = 8 . Таким образом, вектор =(1; 8; 6) перпендикулярен плоскости BCD . Пусть ϕ – угол между векторами и . Тогда
cos ϕ = = = .
Если α – острый угол между плоскостями ABC и BCD , то
cos α = | cos ϕ| = .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7574