ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87180
Темы:    [ Метод координат в пространстве ]
[ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основание пирамиды ABCS – равносторонний треугольник ABC со стороной 4 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC , а другая проходит через точку C и середину ребра AB .

Решение

Пусть M и K – середины рёбер BC и AB соответственно, P – проекция точки M на прямую, проходящую через вершину C параллелльно AB . Выберем систему координат с началом в точке C . Ось x направим по лучу CP , ось y – по лучу CK , ось z – по лучу CS . Тогда координаты концов отрезков SM и CK таковы:

S(0;0;2), M(;;0), C(0;0;0), K(0;2;0).

Найдём координаты векторов и :
= (;;-2), = (0;2;0).

Пусть ϕ – угол между векторами и . Тогда
cos ϕ = = = .

Если α – угол между прямыми SM и CK , то
cos α = | cos ϕ | = .

Следовательно, α = 45o . Прямая CK параллельна прямой MP , значит, прямая CK параллельна плоскости SMP . Уравнение этой плоскости имеет вид
+ = 1

(уравнение плоскости в отрезках), или
+ - 1 = 0.

Расстояние между прямыми SM и CK равно расстоянию от произвольной точки прямой CK (например, от точки C(0; 0;0) ) до этой плоскости. Если ρ – искомое расстояние, то
ρ = || = .


Ответ

45o , .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7554

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .