Задача 87176

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите расстояние между прямой, проходящей через точки A(-3;0;1) и B(2;1;-1) , и прямой, проходящей через точки C(-2;2;0) и D(1;3;2) .

Решение

Найдём координаты векторов и :

=(2-(-3); 1-0; -1-1) = (5; 1; -2),

= (1-(-2); 3-2; 2-0) = (3; 1; 2).
Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный данным прямым. Тогда · = 0 и · = 0 , или

Сложим почленно эти уравнения. Получим уравнение 8a + 2b = 0 , или 4a + b = 0 . Положим a = 2 . Тогда b = -4a = -8 , c = (5a + b) = 1 . Через точку A(-3;0;1) проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (2; -8; 1) :
2(x + 3) - 8y + z - 1 = 0, или 2x - 8y + z + 5 = 0.
Расстояние от точки C(-2;2;0) до этой плоскости равно расстоянию между прямыми AB и CD . Если ρ – искомое расстояние, то
ρ = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7550