Задача 87175

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Уравнение плоскости ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Составьте уравнение плоскости, содержащей прямую = - = 3-z и параллельную прямой пересечения плоскостей 4x + 5z - 3 = 0 и 2x + y + 2z = 0 .

Решение

Вектор = (2;-3;-1) – направляющий вектор первой прямой. Положим x = t и решим относительно y и z систему уравнений

Получим
z = -t + , y = -2z - 2t = t - - 2t = -t - .
Значит, в качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей 4x + 5z - 3 = 0 и 2x + y + 2z = 0 можно взять вектор = (5; -4; -2) . Пусть = (a;b;c) – ненулевой вектор, перпендикулярный каждой из двух данных прямых. Тогда

или

Умножим на -2 первое уравнение и почленно сложим его со вторым. Получим a + 2b = 0 . Положим b = -1 . Тогда a = 2 , c = 2a - 3b = 7 . Значит в качестве вектора, перпендикулярного искомой плоскости можно взять вектор = (2;-1;7) . Через произвольную точку прямой = - = 3-z , например, через точку P(1; 0; 3) , проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (2;-1;7) :
2(x - 1) - y + 7(z - 3) = 0, или 2x - y - 7z - 23 = 0.

Ответ

2x - y + 7z - 23 = 0 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7549