Задача 87165

Темы:    [ Конус ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Три равных конуса с углом α ( α ) при вершине осевого сечения имеют общую вершину и касаются друг друга внешним образом по образующим k , l , m . Найдите угол между образующими l и k .

Решение

Пусть S – общая вершина данных конусов; SA , SB и SC – высоты конусов. Рассмотрим правильную пирамиду SABC с вершиной S . Данные конусы касаются по прямым, содержащим апрофемы пирамиды SABC . Пусть SK , SL и SM – апофемы, лежащие в гранях ASB , BSC и ACS соответственно. Положим SA=SL=SK=1 . Тогда

KL = BK=BL = SL tg BSL = tg .
Из равнобедренного треугольника KSL находим, что
sin KSL = = tg .
Следовательно,
KSL = 2 arcsin ( tg ).

Ответ

2 arcsin ( tg ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7536