Задача 87163

Тема:    [ Конус ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Два равных конуса с общей вершиной D расположены по разные стороны от плоскости α и касаются этой плоскости по образующим DE и DF соответственно. Известно, что угол EDF равен ϕ , а угол между прямой пересечения плоскостей оснований конусов и плоскостью α равен β . Найдите угол между высотой и образующей каждого конуса.

Решение

Опишем около конусов равные треугольные пирамиды ABDH с основанием ABD и KLDS с основанием KLD ("каркасы" конусов) так, чтобы точки H и S лежали на перпендикуляре к плоскости α , причём

HD = SD, AD = BD = KD = LD,
точки E и F – середины отрезков AB и KL соответственно, а окружности оснований конусов были бы вписаны в треугольники AHB и KSL . Прямая l пересечения плоскостей оснований конусов, т.е. плоскостей AHB и KSL , проходит через точку T пересечения прямых AB и KL . Пусть M и N – точки пересечения прямой l с прямыми HE и SF ; P и Q – ортогональные проекции точек M и N на плоскость α . Тогда точки P и Q лежат на лучах DE и DF соответственно. Поэтому
MTP = NTQ = β, PDQ = EDF = ϕ.
Пусть γ – искомый угол между высотой DO и образующей DE конуса, вписанного в пирамиду ABDH . Тогда DHE = ODE = γ . Пусть DE = 1 . Тогда
DT = = , DP = = = ,

PT = DT tg TDP = DT tg = , PE = DP - DE = - 1 = tg 2 .
Из прямоугольных треугольников MPE и MPT находим, что
PM = = = ,

tg β = tg PTM = = = .
Следовательно, tg γ = .

Ответ

arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7534