Задача 87159

Темы:    [ Конус ] [ Прямоугольный тетраэдр ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Два равных конуса с общей вершиной касаются друг друга и некоторой плоскости α . Пусть l – прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найдите угол между прямой l и плоскостью α , если высота каждого конуса равна 2, а радиус основания равен 1.

Решение

Пусть P – общая вершина данных конусов, PK – их общая образующая, PM и PN – образующие конусов, лежащие в плоскости α . Опишем около конусов треугольные пирамиды ABPQ и BCPQ ("каркасы" конусов) с общей высотой QP и основаниями ABP и CBP (рис.1). При этом равные равнобедренные треугольники ABP и CBP с общей боковой стороной BP лежат в плоскости α , основание первого конуса вписано в треугольник AQB , второго – в треугольник BQC , PM и PN – высоты треугольников ABP и CBP соответственно, BQ – прямая пересечения плоскостей оснований конусов, а угол, который образует это прямая с плоскостью α , – это угол PBQ . Пусть O1 и O2 – центры оснований соответственно первого и второго конуса. Тогда O1K BQ , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах PK BQ . Рассмотрим прямоугольный треугольник MPQ (рис.2). PO1 – его высота, проведённая из вершины прямого угла. Так как PO1 = 2 и O1M = 1 , то

tg QMP = = 2, cos QMP = ,

QP = = = 2.
В прямоугольном треугольнике QPB (рис.3) известно, что
PK = 2 = = ,
кроме того, PK – высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
cos PBQ = cos QPK = = = .
Следовательно, PBQ = 60^o .

Ответ

60^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7530