Задача 87154

Темы:    [ Конус ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности и три из них – основания конуса.

Решение

Пусть данные сферы с центрами O1 , O2 и O3 касаются основания конуса с вершиной A , а центр O4 четвёртой сферы лежит на высоте конуса, равной H . Рассмотрим правильный тетраэдр O1O2O3O4 , ребро которого равно 2. Если h – его высота, а α – угол между высотой O4M и боковым ребром, то

h = 2, sin α = = = .
Пусть сфера с центром O4 касаются боковой поверхности конуса в точке B . Тогда O4B AB и
AO4 = = = .
Следовательно,
H = 1 + h + O4A = 1 + 2 + .

Ответ

1 + 2 + .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7525