Задача 87152

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

Решение

Пусть сфера радиуса r с центром O касается внутренним образом данных сфер с центрами O1 , O2 , O3 и O4 . Тогда O – центр правильного тетраэдра O1O2O3O4 , ребро которого равно 2. Радиус R сферы, описанной около правильного тетраэдра O1O2O3O4 , равен его высоты, т.е.

R = · 2 = .
Следовательно,
r = R + 1 = + 1.
Если сфера радиуса r с центром O касается данных сфер внешним образом, то аналогично находим, что
r = R - 1 = - 1.

Ответ

1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7523