Условие
В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ каждое ребро равно $a$.
Вершины $A$ и $A_1$ лежат на боковой поверхности цилиндра, плоскость
$BCC_1$ касается этой поверхности. Ось цилиндра параллельна прямой
$B_1C$. Найдите радиус основания цилиндра.
Решение
Пусть $R$ – искомый радиус. Рассмотрим ортогональную проекцию данной призмы на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра (см. рис.).
Пусть точки $M$ и $N$ – проекции вершин $A$ и $A_1$. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ образует с плоскостью проекций угол $45^\circ$ (т.к. она образует угол $45^\circ$ с осью конуса), значит,
$$MN = AA_1 \cos 45^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{2},$$
причём $MN$ – хорда окружности радиуса $R$. Ортогональная проекция $\ell$
прямой $BC_1$ на указанную плоскость – касательная к окружности,
параллельная хорде $MN$ (прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BB_1C_1C$,
содержащей прямую $BC_1$, а плоскость $BB_1C_1C$ перпендикулярна плоскости проекций). Расстояние между прямыми $MN$ и $\ell$ равно расстоянию между прямыми $AA_1$ и $BB_1$, т.е. высоте равностороннего треугольника $ABC$, проведённой из вершины $A$ и равной $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, радиус основания цилиндра равен радиусу окружности,
описанной около равнобедренного треугольника $MNK$ с основанием
$MN = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ и высотой $KE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Далее находим:
$$KM = \sqrt{KE^2+ME^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{8}},$$
$$\sin \angle KNM = \sin \angle KMN = \frac{KE}{KM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{8}}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}.$$
Следовательно,
$$R = \frac{KM}{2 \sin \angle KNM} = \frac{\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{8}}}{\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}}} = \frac{7a\sqrt{3}}{24}.$$
Ответ
$\frac{7a\sqrt{3}}{24}$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
|
|
Номер |
7517 |
