Задача 87140

Темы:    [ Цилиндр ] [ Конус ] [ Шар и его части ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Цилиндр описан около шара радиуса R . Точка P расположена внутри цилиндра на его оси и удалена на R от нижнего основания. Через эту точку проведена плоскость α , имеющая с окружностью основания только одну общую точку. В шар вписан конус, основание которого лежит в плоскости α , а вершина расположена выше этой плоскости. Найдите объём конуса.

Решение

Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, проходящей через центр шара и точку P (рис.2). Получим квадрат ABCD , в который вписана окружность радиуса R с центром O . Пусть секущая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AK ( K – точка на BC ), а M и N – точки пересечения окружности с прямой AK . Тогда MN – диаметр основания указанного конуса, середина Q отрезка MN – центр основания конуса, E – точка касания окружности со стороной AB , а точка L пересечения продолжения отрезка QO за точку O с окружностью, вписанной в квадрат ABCD , – вершина конуса. Обозначим QM = QN = r , LQ = h , KAB = ϕ . Тогда

tg ϕ = = = , cos ϕ = ,

OQ = OP cos POQ = R cos ϕ = R.
Из прямоугольного треугольника OQN находим, что
r = QN = = = R ,
а т.к.
h = QL = OL + OQ = R + R = R,
то, обозначив через V объём конуса, получим, что
V = π r2h = π(R)2· R = π R3.

Ответ

π R3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7511