Задача 87126

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Около шара объёма V описана правильная треугольная пирамида. Каков наименьший возможный объём этой пирамиды?

Решение

Пусть шар с центром O и радиусом r вписан в правильную треугольную пирамиду ABCD с вершиной D (рис.1). Тогда M точка касания шара с плоскостью основания – центр равностороннего треугольника ABC , а точка E касания шара с плоскостью боковой грани ABD лежит на апофеме DK пирамиды. Пусть a – сторона основания ABC , α – угол боковой грани с плоскостью основания, h – высота пирамиды. Проведём сечение через точки D , K и C (рис.2). Точки O , M , K , E принадлежат этому сечению. Поскольку окружность с центром O и радиусом r вписана в угол DKC , луч KO – биссектриса этого угла, значит,

KM = = , CK = 3KM = ,

BK = CK tg 30^o = , a = AB = 2BK = ,

S_{Δ ABC} = a2 = · ()2· = ,

h = DM = KM tg DKM = · tg α = · = .
Обозначим tg = t и запишем объём пирамиды ABCD как функцию от t .
V(t) = S_{Δ ABC}· DM = ·· = = =

= = 8r3,
причём равенство достигается при t = . Из равенства V = π r3 находим, что r3 = . Следовательно, наименьший объём пирамиды ABCD равен
8r3 = 8· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7449