ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87090
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Четырехугольная пирамида ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ребро PA пирамиды PABC перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 1. В треугольнике ABC угол при вершине A прямой, а каждый из катетов AB и AC равен 2. Точки M и N – середины AC и BC соответственно. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC .

Решение

Если r – радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC , S – полная поверхность этой пирамиды, а V – её объём, то r = . Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC , то MN || AB , а т.к. AB – перпендикуляр к плоскости APC , то MN PM , поэтому PM – высота треугольника MPN . Значит,

SΔ PMN = MN· PM = MN = · 1· = .

Заметим, что AN – высота треугольника ABC . Тогда
AN = = 2· = .

По теореме о трёх перпендикулярах PN BC , поэтому PN – высота треугольника BPC и
PN = = = ,


SΔ CPN = SΔ BPC = · BC· PN = · · 2· = .

Значит,
S = SΔ PMN + SΔ CPN + SΔ CPM + SΔ CMN =


= SΔ PMN + SΔ CPN + SΔ APC + SΔ ABC =


= + + · · 2· 1 + · · 2· 2 = + + + = ,

а так как
V = · VPABC = VPABC = · · · 2· 2· 1 = ,

то
r = = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7409

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .