Задача 87081
|
|
 |
Условие
Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в два раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не больше 1 см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз его ущерб больше?Решение
На продолжении бокового ребра AA1 пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1 , все рёбра которой больше 2, за вершину A отметим точку F (рис.1). При параллельном переносе на вектор A1A трехгранный угол при вершине A1 призмы перейдёт в трёхгранный угол AFBE с вершиной A . Рассмотрим шар радиуса 1 с центром в точке A . Тогда сумма объёмов отъеденного от вершин A и A1 сыра равен объёму пересечения этого шара с двугранным углом AA1 призмы. Если линейный угол этого двугранного угла равен α1 , то объём пересечения равенЕсли α2 , α3 , α4 и α5 — линейные углы двугранных углов BB1 , CC1 , DD1 и EE1 призмы, то сумма объёмов всех съеденных кусков сыра в этом случае равна
т.к. α1+α2+α3+α4+α5 — сумма внутренних углов пятиугольника, являющегося перпендикулярным сечением призмы.
Рассмотрим куб KLMNK1L1M1N1 , ребро которого больше 2 (рис.2). Пусть S — центр этого куба. Тогда четырёхугольная пирамида SKLMN с вершиной S — это правильная четырёхугольная пирамида, о которой говорится в условии задачи.
Объём отъеденного от вершины S сыра равен одной шестой части объёма единичного шара с центром S , т.е.
Объём отъеденного от вершины M сыра равен третьей части объёма пересечения единичного шара с центром M с трёхгранным углом куба при вершине M , т.е.
Следовательно, больший ущерб понёс первый фермер, причём
Ответ
Ущерб первого фермера в 4,5 раза больше ущерба второго.60o .
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7311 |
