Задача 87066

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Ортоцентрический тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дана треугольная пирамида ABCD . Скрещивающиеся рёбра AC и BD этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся ребра AD и BC , а AB = CD . Все рёбра этой пирамиды касаются шара радиуса r . Найдите площадь грани ABC .

Решение

Докажем, что противоположные рёбра AB и CD тетраэдра ABCD (рис.1) также перпендикулярны. Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Так как AC BD и LN || BD , то LN AC , поэтому параллелограмм ALCN – ромб. Тогда равный ему параллелограмм KBMD – тоже ромб. Аналогично, грани AKDN и LBMC – ромбы. Значит, AK = AN = AL , поэтому оставшиеся грани AKBL и NDMC – тоже ромбы. Следовательно, AB CD . Таким образом, все рёбра параллелепипеда равны. Обозначим их длины через x . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AB2 + CD2 = 4x2, AC2 + BD2 = 4x2, AD2 + BC2 = 4x2.
Следовательно,
AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2.
Обозначим AB = CD = a . Пусть сфера радиуса r касается рёбер AB , CD , AD и BC тетраэдра ABCD в точках E , F , G и H соответственно (рис.2). Тогда
AB + CD = (AE + BE) + (CF + DF) = (AG + BH) + (CH + DG) =

= (AG + DG) + (CH + BH) = AD + BC.
Аналогично, AC + BD = AB + CD , а т.к.
AB2 + CD2 = 2a2 иAB + CD = 2a,
то
AC2 + BD2 = 2a2 иAC + BD = 2a.
Возведём обе части второго равенства в квадрат и сложим полученное равенство с первым. Имеем систему уравнений

из которой находим, что AC = BD = a . Аналогично, AD = BC =a . Значит, ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , а параллелепипед AKBLNDMC – куб, диагональ грани которого равна a , а ребро . Данная сфера вписана в этот куб, поэтому ребро куба равно диаметру сферы, т.е. 2r . Значит, a = 2r , а площадь каждой грани тетраэдра равна a2 . Следовательно,
S_{Δ ABC} = a2 = · 8r2 = 2r2.

Ответ

2r2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7284