Задача 87059

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен . Точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что AB = 2 , CD = 2 , EF = .

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Тогда KL || DC и MN || AB , поэтому отрезок EF , соединяющий центры граней AKBL и NDMC , перпендикулярен плоскостям оснований AKBL и NDMC , а т.к. прямая EF параллельна боковым рёбрам параллелепипеда, то этот параллелепипед – прямой. Пусть угол BEL – острый. Тогда по теореме косинусов из треугольников BEL и AEL находим, что

BL2 = BE2 + LE2 - 2BE· LE cos BEL = 5 + 7 - 2· · · = 5,

AL2 = AE2 + LE2 + 2AE· LE cos BEL = 5 + 7 + 2· · · = 19.
По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BLC и ALC находим, что
BC2 = BL2 + CL2 = 5 + 13 = 18, AC2 = AL2 + CL2 = 19 + 13 = 32.
Наконец, по теореме косинусов
cos ACB = = = .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7277