Задача 87058

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Равногранный тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Противоположные рёбра тетраэдра попарно равны. Основание тетраэдра – треугольник со сторонами a , b , c . Найдите объём тетраэдра.

Решение

Достроим данный тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Пусть AB = CD = a , AC = BD = b и AD = BC = c . Поскольку KL || CD и KD || LC , то KL = AB , поэтому параллелограмм AKBL – прямоугольник. Аналогично, все шесть граней параллелепипеда AKBLNDMC – прямоугольники. Значит, параллелепипед AKBLNDMC – прямоугольный. Обозначим AK = x , AL = y , AN = z . Тогда

x2 + y2 = a2, y2 + z2 = b2, x2 + z2 = c2.
Сложим почленно первое и третье уравнение и вычтем из результата второе. Получим
x2 = (a2 + c2 - b2).
Аналогично,
y2 = (a2 + b2 - c2), z2 = (b2 + c2 - a2).
Если V – объём параллелепипеда, то
V = xyz = · · ,
а т.к. объём V1 тетраэдра ABCD равен трети объёма параллелепипеда AKBLNDMC , то
V1 = =

= .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7276