Условие
Боковые рёбра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и
равны
a ,
b и
c . Найдите радиус описанной сферы.
Решение
Пусть
ABCD – данная треугольная пирамида с вершиной
D , причём
DA 
AB ,
DA AC и
AB AC ,
DA = a ,
AB = c и
AC = b . Тогда прямая
AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым
плоскости
ABC , поэтому прямая
AD перпендикулярна плоскости
ABC ,
т.е.
DA – высота пирамиды.
Достроим прямоугольный треугольник
ABC до прямоугольника
ABMC , через вершины
B ,
C и
M проведём перпендикуляры к плоскости
ABC , а через вершину
D проведём плоскость, параллельную полоскости
ABC . Получим прямоугольный параллелепипед
ABMCDKLN (
AD || CN
|| ML || BK ). Сфера, описанная около этого параллелепипеда,
проходит через точки
A ,
B ,
C ,
D , поэтому она описана и около данной
пирамиды
ABCD . Её центр
O – точка пересечения диагоналей параллелепипеда,
а радиус
R равен половине диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Следовательно,
R = 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7275 |
