Задача 87054

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма квадратов всех рёбер тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов расстояний между серединами его противоположных рёбер.

Решение

Достроим тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Диагонали каждой грани построенного параллелепипеда равны противоположным рёбрам тетраэдра. Пусть a и b , c и d , e и f – противоположные рёбра тетраэдра, а x , y и z – соответственно расстояния между их серединами. Тогда рёбра параллелепипеда, исходящие из одной вершины равны x , y и z . По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

a2 + b2 = 2y2 + 2z2, c2 + d2 = 2x2 + 2z2, e2 + f2 = 2x2 + 2y2.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 = 4x2 + 4y2 + 4z2.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7272