Задача 87051

Темы:    [ Правильная призма ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a . На диагоналях D1A и A1B взяты соответственно точки M и N , причём D1M:D1A = NB:A1B = 1:3 . Найдите расстояние от вершины C до прямой MN .

Решение

Обозначим = , = , = (x = y = z = a) , Тогда

= - + .
Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую MN . Обозначим = α . Тогда
= α = α( - + ) = α - α+ α,

= += ( + + ) + α( - + ) =

=(+α)+ (1-α)+ (+α).
Поскольку CK NM , скалярное произведение векторов и равно нулю, т.е.
((+α)+ (1-α)+ (+α)) ( - + ) =

=(+α)a2- (1-α)a2+ (+α)a2 =

=((+α)- (1-α)+ (+α))a2 = 0,
откуда находим, что α = . Значит,
= (+)+ (1-)+ (+)= + + .
Следовательно,
CK2 = 2 = (++)a2 = a2, CK = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7264