ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87050
Темы:    [ Максимальное/минимальное расстояние ]
[ Правильная призма ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны a . Рассматриваются отрезки с концами на прямых AB1 и BC1 , перпендикулярные прямой AC1 . Найдите наименьшую длину таких отрезков.

Решение

Обозначим = , = , = (x = y = z = a) , = α , = β . Тогда

= + , = + + = -α + + β =


= -α ( + ) + + β(- + + ) = -(α +β -1) + β + (β -α).

Из условия задачи следует, что · = 0 . Кроме того,
· = xy cos 60o = a2, · = · = 0,

поэтому
(-(α +β +1) + β + (β -α ))( + ) = -(α +β -1)a2 + β a2 + (β -α )a2 =


= (-(α +β -1) + β + (β -α ))a2 = (3β -3α +1)a2 = (β -α +)a2 = 0,

откуда β = α - . Таким образом,
= -(2α - ) + (α - ) - ,

значит,
MN2 = (-(2α - ) + (α - ) - )2 =


= (2α - )2a2 + (α - )2a2 + a2-2(2α-)(α-)· a2 =


= (4α 2- + + α 2- α + + - 2α 2+ 2α - )a2 =


= (3α 2- 4α + )a2 = (3(α 2-2· α+-)+)a2 =


= (3(α - )2 - + )a2 = (3(α - )2 - )a2 a2,

причём равенство достигается при α = . Следовательно, наименьшая длина равна .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7263

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .