Задача 87037

Темы:    [ Объем параллелепипеда ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки M и N – середины рёбер AA1 и CC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Прямые A1C , B1M и BN попарно перпендикулярны. Найдите объём параллелепипеда, если известно, что A1C = a , B1M = b , BN = c .

Решение

Рассмотрим сечение данного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M , D1 и B1 . Поскольку MD1 || BN и BN B1M , треугольник MB1D1 – прямоугольный. Если S – его площадь, то

S = MB1· MD1 = bc.
Пусть O – центр параллелограмма A1B1C1D1 . Плоскости MB1D1 и AA1C1C пересекаются по прямой MO , значит, прямая A1C пересекает плоскость треугольника MB1D1 в точке P , лежащей на прямой MO . Поскольку MO – средняя линия треугольника AA1C1 ,
A1P = · A1C = A1C = a.
Прямая A1C перпендикулярна двум пересекающимся прямым B1M и D1M плоскости MB1D1 , поэтому A1P – высота треугольной пирамиды A1MB1D1 . Тогда
V_A1MB1D1 = S_{Δ MB}1D1· A1P = · bc· a = abc.
Пусть S – площадь грани A1B1C1D1 , h – высота параллелепипеда, опущенная на эту грань. Тогда
V_ABCDA1B1C1D1 = Sh, V_A1MB1D1 = · S· h = Sh.
Следовательно,
V_ABCDA1B1C1D1 = 12V_A1MB1D1 = abc.

Ответ

abc .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7249