Задача 87034

Темы:    [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды PABCD – параллелограмм ABCD . Точка N – середина ребра AP , точка K – середина медианы PL треугольника BPC , точка M лежит на ребре PB , причём PM = 5MB . В каком отношении плоскость, проходящая через точки M , N , K , делит объём пирамиды PABCD ?

Решение

Плоскости граней APD и BPC проходят через параллельные прямые AD и BC и имеют общую точку P , значит, они пересекаются по прямой l , проходящей через точку P параллельно прямым AD и BC . Обозначим BC = AD = a . Рассмотрим плоскость грани BPC . Пусть продолжение отрезка MK пересекает прямую l в точке T , прямую PC – в точке F , а прямую BC – в точке G . Обозначим BG = x . Из подобия треугольников PMT и BMG находим, что

PT = BG· = 5x.
Из равенства треугольников PKT и LKG следует, что
PT = LG = x + a.
Из уравнения x + a = 5x находим, что x = a . Значит,
PT = a, CG = BC + BG = a + x = a.
Из подобия треугольников PFT и CFG находим, что
= = = .
Следовательно, = . Рассмотрим плоскость грани APD . Пусть прямая TN пересекает ребро PD в точке E , а прямую AD – в точке H . Из равенства треугольников PNT и ANH следует, что AH = PT = a . Из подобия треугольников PET и DEH находим, что
= = = = .
Следовательно, = . Обозначим через V объём пирамиды PABCD . Тогда объёмы треугольных пирамид PABD и PBCD равны V . Далее имеем:
V_PMNE = · · · V_PABD = · · · V,

V_PMFE = · · · V_PBCD = · · · V,

V_PMFEN = V_PMNE + V_PMFE = · · · V + · · · V =

= · · ( + )V V.
Пусть V1 и V2 – объёмы многогранников, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCD . Тогда
= = .

Ответ

25:227 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7246