Условие
Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на
двух заданных скрещивающихся прямых.
Решение
Пусть точки
M и
N принадлежат скрещивающимся прямым
a и
b
соответственно,
K – середина отрезка
MN . Через точку
K проведём
прямые
a' и
b' , соответственно параллельные прямым
a и
b . Через
пересекающиеся прямые
a' и
b' проведём плоскость
α . Докажем, что
эта плоскость и есть искомое геометрическое место точек.
1) Пусть
X и
Y – произвольные точки прямых
a и
b соответственно.
Поскольку прямые
a и
a' параллельны, они лежат в одной плоскости. В
этой же плоскости лежит прямая
MN (т.к. две её точки
M и
K лежат в
этой плоскости), а значит, – и прямая
NX .
Пусть прямые
a' и
NX пересекаются в точке
P . Тогда
P –
середина отрезка
NX . Если
Z – точка пересечения отрезка
XY с
плоскостью
α , то плоскость треугольника
NXY , проходящая через
прямую
b , параллельную плоскости
α , пересекает эту плоскость по
прямой
PZ , параллельной прямой
b .
Поскольку
P – середина отрезка
XN ,
Z – середина
XY . Таким
образом, середина каждого отрезка
XY с концами на прямых
a и
b
лежит в плоскости
α .
2) Пусть теперь
Z – произвольная точка плоскости
α , а прямая,
проходящая через точку
Z параллельно прямой
b' , пересекает прямую
a' в точке
P . Тогда точка
P лежит в плоскости, проходящей через
параллельные прямые
a' и
a . Следовательно, прямая
NP пересекает
прямую
a в некоторой точке, которую мы обозначим через
X .
Поскольку
PZ || b' || b , прямые
PZ и
b лежат в одной
плоскости. В этой же плоскости лежит и точка
X (т.к.
X лежит на прямой
NP ), а следовательно, – и прямая
XZ .
Пусть прямые
XZ и
b пересекаются в некоторой точке
Y .
Поскольку
K – середина
MN ,
P – середина
NX , а т.к.
PZ || NY ,
то
Z – середина
XY .
Таким образом, каждая точка
Z плоскости
α является серединой
некоторого отрезка
XY с концами на скрещивающихся прямых
a и
b .
Ответ
Плоскость.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7232 |
