Информация о задаче

Задача 87012

Тема:

[

Параллельность прямых и плоскостей

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Через диагональ куба, ребро которого равно a, проведена плоскость, параллельная диагонали одной из граней куба. Найдите площадь полученного сечения.

Подсказка

В сечении получится ромб, диагонали которого равны a $\sqrt{2}$ и a $\sqrt{3}$ .

Решение

Пусть секущая плоскость проходит через диагональ A₁C куба ABCDA₁B₁C₁D₁ параллельно диагонали B₁D₁ квадрата A₁B₁C₁D₁. Тогда плоскость грани B₁BDD₁ пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной B₁D₁.

Пусть M и N - точки пересечения этой прямой с ребрами BB₁ и DD₁ соответственно. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей A₁M || CN и MC || A₁N. Поэтому четырехугольник A₁MCN - параллелограмм. Поскольку четырехугольник B₁MND₁ - прямоугольник, MN = B₁D₁ = a $\sqrt{2}$ .

Ортогональная проекция A₁C₁ диагонали A₁C куба на плоскость основания A₁B₁C₁D₁ перпендикулярна B₁D₁. По теореме о трех перпендикулярах диагональ A₁C перпендикулярна отрезку B₁D₁, а, следовательно, и отрезку MN. Значит, диагонали параллелограмма A₁MNC взаимно перпендикулярны, т.е. это ромб.

Следовательно,

S(A₁MCN) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MN^.A₁C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.a $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a² $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Ответ

a² $\displaystyle \sqrt{6}$ /2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7216