Задача 86987

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Векторное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан правильный тетраэдр PABC с ребром a . Через точки C , E , M , P , где E – середина AB , а M – середина AC , проведена сфера. Найдите её радиус.

Решение

Центр O указанной сферы радиуса R равноудалён от точек E , M и C , поэтому он лежит на перпендикуляре l к плоскости EMC (т.е. к плоскости основания ABC тетраэдра), проходящем через центр окружности треугольника EMC . Если Q – середина BC стороны правильного треугольника ABC , то QE = QM = QC , т.е. Q – центр окружности, проходящей через точки E , M и C . Пусть PH – высота тетраэдра ABCD . Тогда PH || OQ . Через параллельные прямые PH и OQ проведём плоскость. Обозначим OQ = x . Опустим пепендикуляр OT из вершины O прямоугольной трапеции OQHP на основание PH . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OTP находим, что

R2 = OP2 = OT2 + TP2 = QH2 + (PH - TH)2 =

= QH2 + (PH - OQ)2 = ()2 + (a - x)2,
а из прямоугольного треугольника OQC –
R2 = OC2 = OQ2 + QC2 = x2 + ()2 = x2 + .
Из уравнения
()2 + (a - x)2 = x2 +
находим, что x = . Следовательно,
R = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7184