ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86984
Темы:    [ Векторное произведение ]
[ Прямые и плоскости в пространстве ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.

Решение

Пусть PA1A2 ... An – пирамида с вершиной P . Если около этой пирамиды можно описать сферу, то плоскость основания A1A2 ... An пересекается с этой сферой по окружности, в которую вписан многоугольник A1A2 ... An . Пусть около основания A1A2 ... An пирамиды PA1A2 ... An можно описать окружность с центром Q . Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от вершин основания A1A2 ... An , есть прямая a , проходящая через точку Q перпендикулярно плоскости основания A1A2 ... An . Геометрическое место точек пространства, равноудалённых от точек P и A1 , есть плоскость α , перпендикулярная отрезку PA1 и проходящая через его середину. Предположим, что прямая a параллельна плоскости α . Тогда прямая a перпендикулярна прямой PA1 , а значит, PA1 лежит в плоскости основания A1A2 ... An , что невозможно, т.к. точка P не лежит в плоскости основания пирамиды. Таким образом, прямая a и плоскость α пересекаются в некоторой точке O , равноудалённой от всех вершин пирамиды PA1A2 ... An . Следовательно, O – центр сферы, описанной около этой пирамиды.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7181

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .